標題:
國一數學問題(求公因數與公倍數)
1﹑一組磁磚1號到100號，現在經過下列方式來做調整，移除所有編號為完全平方數的磁磚，然後再將剩餘的磁磚重新編成從1開始的連續正整數號碼。試問，這樣的動作需做幾次才能將磁磚移除至剩下僅僅一塊？2﹑設n為正整數，若以n分別除419，518與749得餘數均同為r(r＞20)，則n=？3﹑a為六位正整數，以3、7、8、11除之均餘2，求(A) a的最小值為何？；(B)... 顯示更多 1﹑一組磁磚1號到100號，現在經過下列方式來做調整，移除所有編號為完全平方數的磁磚，然後再將剩餘的磁磚重新編成從1開始的連續正整數號碼。試問，這樣的動作需做幾次才能將磁磚移除至剩下僅僅一塊？ 2﹑設n為正整數，若以n分別除419，518與749得餘數均同為r(r＞20)，則n=？ 3﹑a為六位正整數，以3、7、8、11除之均餘2，求(A) a的最小值為何？；(B) a最大值為何？；(C)合乎此條件的a值共有幾個？ 4﹑如果三個相異正整數之和是370，試問滿足此條件之三數的最小公倍數中最小者為何？ 5﹑從1、2、3、4、……、10000裡面刪去10的倍數，再刪去12的倍數後，則刪去後剩下的數中第2008個數為何？
最佳解答:
1﹑ 1~100的完全平方數有：12= 1、22 = 4、32 = 9、42 = 16、5 = 25、62 = 36、72 = 49、82 =64、92 =81、102 = 100，共10個 第一次移除10塊，剩100- 10 = 90 重新編號後：90塊只剩含9塊完全平方數 第二次移除9塊，剩90- 9 = 81 重新編號後：81塊含9塊完全平方數 第三次移除9塊，剩81- 9 = 72 依此類推，除第一次移除10塊完全平方數，從第二次移除9塊開始，都會移除2次相同的塊數，也就是移除的塊數為10、9、9、8、8、7………2、2、1，第18次移除1塊後，共移除99塊，剩1塊。 答：18次 2﹑ 依題意可列式： 419 = an + r 419 –r = an ……(1) 518 = bn + r 518 –r = bn ……(2) 749 = cn + r 749 –r = cn ……(3) (2)- (1) 99 = (b – a)n (3)- (1) 330 = (c – a)n (3)- (2) 231 = (c – b)n 由上面3個式子可知n為99、330、231的公因數 99、330、231的公因數有：1、3、11、33 因r > 20，所以n= 33 3﹑a為六位正整數，以3、7、8、11除之均餘2，求(A) a的最小值為何？；(B) a最大值為何？；(C)合乎此條件的a值共有幾個？ 依題意可列式： a = 3k1 + 2 = 7k2 + 2 = 8k3 + 2 = 11k4 + 2 a – 2 = 3k1 = 7k2 = 8k3 = 11k4 也就是a – 2是的公倍數 a = (3*7*8*11)n + 2 a = 1848n + 2 通解(n = 1到無限大) a為六位正整數： 100000/1848 = 54……208 (A) a的最小值為：n = 55 a = 1848*55 +2 = 101642 1000000/1848 = 541……232 (B) a最大值為：n = 541 a = 1848*541 +2 = 999770 (C)合乎此條件的a值共有：541 – 55 + 1 = 487(個) 4﹑如果三個相異正整數之和是370，試問滿足此條件之三數的最小公倍數中最小者為何？ 假設此三數的公因數為n， 此三數為an、bn、cn (a + b + c)n = 370 (a + b + c) = 370/ n 質因數分解370 = 2*5*37 當公因數最大時，三數會有最小公倍數 因三個數是相異數所以(a + b + c)不可能是1、2、5 所以當(a + b + c) = 10時，最大公因數：n = 37 三數為10的組合有1、2、7，1、3、6，1、4、5，2、3、5四種可能 最小公倍數 = a*b*c*n，三數乘積最小時(1、2、7)有最小公倍數 所以最小公倍數 =1*2*7*37 = 518 5﹑ 10和12的最小公倍數為60 每60個數會重覆相同的 60個數中有60/10 = 6個10的倍數， 有60/12 = 5個12的倍數， 有60/60 = 1個60的倍數， 所以每60個數會刪去：6+5-1 = 10個數 60 – 10 =50、刪除10和12的倍數後會剩50個數 2008/50 = 40……8 還原成原來的數字：40*60 = 2400 2400+8 = 2408 2009-09-24 15:41:56 補充： 箭頭都不見了，希望你看得懂，不懂再提出來。
其他解答:
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發問:1﹑一組磁磚1號到100號，現在經過下列方式來做調整，移除所有編號為完全平方數的磁磚，然後再將剩餘的磁磚重新編成從1開始的連續正整數號碼。試問，這樣的動作需做幾次才能將磁磚移除至剩下僅僅一塊？2﹑設n為正整數，若以n分別除419，518與749得餘數均同為r(r＞20)，則n=？3﹑a為六位正整數，以3、7、8、11除之均餘2，求(A) a的最小值為何？；(B)... 顯示更多 1﹑一組磁磚1號到100號，現在經過下列方式來做調整，移除所有編號為完全平方數的磁磚，然後再將剩餘的磁磚重新編成從1開始的連續正整數號碼。試問，這樣的動作需做幾次才能將磁磚移除至剩下僅僅一塊？ 2﹑設n為正整數，若以n分別除419，518與749得餘數均同為r(r＞20)，則n=？ 3﹑a為六位正整數，以3、7、8、11除之均餘2，求(A) a的最小值為何？；(B) a最大值為何？；(C)合乎此條件的a值共有幾個？ 4﹑如果三個相異正整數之和是370，試問滿足此條件之三數的最小公倍數中最小者為何？ 5﹑從1、2、3、4、……、10000裡面刪去10的倍數，再刪去12的倍數後，則刪去後剩下的數中第2008個數為何？
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