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合作 數學 合作擂台之ad2

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已知Y!=1*2*3*4*5*6*........*Y，其中Y為正整數，例:4!=1*2*3*4=24 ， 5!=1*2*3*4*5=120 (1)若x=2012!，則x的結尾共有幾個零? (2)已知abc是一個三位數，其中a,b,c分別代表百位數、十位數以及個位數，若此三位數的值剛好等於a!+b!+c!，試找出所有滿足條件的三位數

最佳解答:

(1) 首先，先了解題目的做法，結尾要多一個0代表要乘上10，也就是乘上2x5，而從1~2012一個一個乘的情況下，乘上2個個數比5還要多許多，所以我們只要想想裡面有幾個5就可以了。 首先，2012÷5 = 502...2，代表有502個5的倍數，可以提供502個5 但是並不是每個數字都只能提供1個5，像是25, 50這種數字可以直接提供兩個5 所以接下來2012÷25 = 80...12 2012÷125 = 16...12 2012÷625 = 3...137 到此為止，2012!可以提供502+80+16+3共601個5，所以最後面會有601個0 (2) 首先先判斷a b c的範圍，因為7!=5040明顯不是三位數，所以7, 8, 9都不會出現 6!=720，如果有6的話，和會超過720，所以6也不會出現。 剩下的數字是1, 2, 3, 4, 5 (雖然0!被定義成1，但是以題目寫的階乘定義方式我們假定0不會出現) 1!=12!=23!=64!=245!=120 要出現三位數其中必定至少有一個5(不然最大也只是4!的三倍 72) 5不能放在百位數，因為最大頂多是5!的三倍360 目前為止答案可能是"x5x、xx5" 或"x55"這兩種，分開討論 情形1：只有1個5 表示這個三位數是120 + (24以下) + (24以下) 百位數必定是1，所以答案可能性是15x 或 1x5 把151 152 153 154、115 125 135 145共8組數字都試一下， 發現答案只有145這一組 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145 (其實151、152、154跟115可以直接用奇偶判別刪掉，只要算四組) 情形2：有兩個5 表示這個三位數是120 + 120 + (24以下) 百位數必定是2，代表這個三位數只能是255 算過發現2!+5!+5! = 242 不合 因此所有滿足條件的三位數只有145一個 2012-12-01 00:58:17 補充： 是說，解答的第三行有錯… 首先，2012÷5 = 502...2，代表有502個5的倍數，可以提供502個5 要改成402，不是502...xd

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(1)若x=2012!，則x的結尾共有幾個零?5013C845D5E72561DE8