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中五_圓的方程
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1) 巳知直線L: y=mx+2 是圓C: (x-6)^2+(y-4)^2=8的切線. (a) 證明7m^2-6m-1=0 , 從而求m的值 因y = mx+2, (x-6)^2 + (mx-2)^2 = 8 x^2 - 12x + 36 + m^2 x^2 - 4mx + 4 = 8 (1+m^2) x^2 + (-12-4m)x + 32 = 0 △ = 0 [-(12+4m)]^2 - 4(1+m^2)(32) = 0 16(3+m)^2 - 16(1+m^2)(8) = 0 9 + 6m + m^2 - 8m^2 - 8 = 0 所以7m^2 - 6m - 1 = 0 (m-1)(7m+1) = 0 m = 1 or -1/7 (b) 寫出L的兩個可能方程 L: y = x+2 y = -x/7 + 2 => 7y = -x + 14 => 7y + x - 14 = 0 2) 一個三角形的三個頂點分別是A(3,2),B(-5,6)和C(-3,10) (a) 證明△ABC是一個直角三角形 AB 長度 = √((3+5)^2 + (2-6)^2) = 4√5 BC 長度 = √((-3+5)^2 + (10-6)^2) = 2√5 CA 長度 = √((-3-3)^2 + (10-2)^2) = 10 AB^2 + BC^2 = 4^2 * 5 + 2^2 * 5 = 80 + 20 = 100 = 10^2 = CA^2 根據畢氏定理的逆定理， 所以△ABC是一個直角三角形 (b) 求△ABC的外接圓的方程 因△ABC是一個直角三角形, 所以CA 為該圓的直徑，所以得知該圓的半徑為10/2 = 5 而又得知圓心於CA的中點， 所以圓心 = ( (3-3)/2, (2+10)/2) = (0,6) 所以該圓方程為， (x-0)^2 + (y-6)^2 = 5^2 x^2 + (y-6)^2 = 25 x^2 + y^2 - 12y + 36 = 25 x^2 + y^2 - 12y + 11 = 0
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1) 巳知直線L: y=mx+2 是圓C: (x-6)^2+(y-4)^2=8的切線. (a) 證明7m^2-6m-1=0 , 從而求m的值 (b) 寫出L的兩個可能方程 2) 一個三角形的三個頂點分別是A(3,2),B(-5,6)和C(-3,10) (a) 證明△ABC是一個直角三角形 (b) 求△ABC的外接圓的方程最佳解答:
1) 巳知直線L: y=mx+2 是圓C: (x-6)^2+(y-4)^2=8的切線. (a) 證明7m^2-6m-1=0 , 從而求m的值 因y = mx+2, (x-6)^2 + (mx-2)^2 = 8 x^2 - 12x + 36 + m^2 x^2 - 4mx + 4 = 8 (1+m^2) x^2 + (-12-4m)x + 32 = 0 △ = 0 [-(12+4m)]^2 - 4(1+m^2)(32) = 0 16(3+m)^2 - 16(1+m^2)(8) = 0 9 + 6m + m^2 - 8m^2 - 8 = 0 所以7m^2 - 6m - 1 = 0 (m-1)(7m+1) = 0 m = 1 or -1/7 (b) 寫出L的兩個可能方程 L: y = x+2 y = -x/7 + 2 => 7y = -x + 14 => 7y + x - 14 = 0 2) 一個三角形的三個頂點分別是A(3,2),B(-5,6)和C(-3,10) (a) 證明△ABC是一個直角三角形 AB 長度 = √((3+5)^2 + (2-6)^2) = 4√5 BC 長度 = √((-3+5)^2 + (10-6)^2) = 2√5 CA 長度 = √((-3-3)^2 + (10-2)^2) = 10 AB^2 + BC^2 = 4^2 * 5 + 2^2 * 5 = 80 + 20 = 100 = 10^2 = CA^2 根據畢氏定理的逆定理， 所以△ABC是一個直角三角形 (b) 求△ABC的外接圓的方程 因△ABC是一個直角三角形, 所以CA 為該圓的直徑，所以得知該圓的半徑為10/2 = 5 而又得知圓心於CA的中點， 所以圓心 = ( (3-3)/2, (2+10)/2) = (0,6) 所以該圓方程為， (x-0)^2 + (y-6)^2 = 5^2 x^2 + (y-6)^2 = 25 x^2 + y^2 - 12y + 36 = 25 x^2 + y^2 - 12y + 11 = 0
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